সেট

সেটঃ
Abdullah Al Noman
সেট হচ্ছে সুনির্দিষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত বস্তুসমূহের সমাহার বা তালিকা । সেটের অন্তর্গত প্রত্যেক বস্তুকে ঐ সেটে উপাদান (element) বা সদস্য (member) বলা হয় ।
সাধারণত সেট দুই পদ্ধতিতে প্রকাশ করা হয় :
i. তালিকা পদ্ধতি (Tabular Method) : যেমন A = {1,2,3,4,5}
ii. সেট গঠন পদ্ধতি (Set Builder Method) : যেমন B = {x ∣ x ∈ N এবং x ≤ 5}
.
সমান সেট : যেকোন সেট A=B হবে যদি A সেটের সকল সদস্য B সেটের সদস্য হয় এবং B সেটের সকল সদস্য A সেটের সদস্য হয় । অর্থাৎ,
A=B হবে যদি এবং কেবল যদি হলে x ∈ B হয় এবং x ∈ B হলে x ∈ A হয় ।
.
ফাঁকা সেট/ শূণ্য সেট : যে সেটের কোন সদস্য নেই তাকে ফাঁকা বা শূণ্য (Empty) সেট বলা হয় । শূণ্য সেটকে সংকেত দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
.
উপসেট : যদি A সেটের প্রতিটি উপাদান B সেটেরও উপাদান হয় তবে A কে সেটের B উপসেট (Subset) বলা হয় । এবং A ⊂ B লিখে তা প্রকাশ করা হয় । উপসেট বোঝাতে ⊆ চিহ্নও ব্যবহার করা হয় । A ⊆ B হয় যদি ও কেবল যদি x ∈ A হলে x ∈ B হয় । কোন সেটের সদস্য সংখ্যা n হলে ঐ সেটের জন্য 2n সংখ্যক উপসেট পাওয়া যাবে ।
.
প্রকৃত উপসেট : সেট A কে B এর প্রকৃত উপসেট (Proper Subset) বলা হয় যদি A ⊂ B এবং A ≠ B হয় । A, B এর প্রকৃত উপসেট বোঝাতে A ⊊ B লেখা হয় । কোন সেটের সদস্য সংখ্যা n হলে ঐ সেটের জন্য (2 n -1) সংখ্যক প্রকৃত উপসেট পাওয়া যাবে ।
.
শক্তি সেট : কোন সেটের উপসেটসমূহের সেটকে ঐ সেটের শক্তি সেট (Power set) বলে । কোন সেট A এর পাওয়ার সেটকে P(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
.
সার্বিক সেট : আলোচনাধীন সকল সেটকে তথা তাদের উপাদানসমূহকে একটি বিশেষ সেটের অন্তর্ভূক্ত বিবেচনা করা হয় । সেই বিশেষ সেটকে ঐ আলোচনার সার্বিক সেট (Universal Set) বলা হয় এবং সাধারণত ⋃ প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করা হয় ।
.
ব্যবধি : a ও b বাস্তব সংখ্যা এবং a<b হলে এর চারটি বিশেষ ধরনের উপসেটকে a ও b প্রান্তবিশিষ্ট ব্যবধি (Interval) বলা হয় । দ্রষ্টব্য, সকল বাস্তব সংখ্যার সেটকে R দ্বারা সূচিত করা হয় ।
i. a থেকে b পর্যন্ত খোলা (Open) ব্যবধি : ]a,b[ = (a,b) = {x∣x ∈ R এবং a<x<b}
ii. a থেকে b পর্যন্ত বদ্ধ (Closed) ব্যবধি : [a,b] = {x∣x ∈ R এবং a≤x≤b}
iii. a থেকে b পর্যন্ত খোলা-বদ্ধ ব্যবধি : ]a,b] = (a,b] = {x∣x ∈ R এবং a<x≤b}
iv. a থেকে b পর্যন্ত বদ্ধ-খোলা ব্যবধি : [a,b[ = [a,b) = {x∣x ∈ R এবং a≤x<b}
.
সংযোগ সেট : দুটি সেট A এবং B এর সকল উপাদান নিয়ে (কোন উপাদানের পুনরাবৃত্তি না করে) গঠিত সেটকে A এবং B এর সংযোগ সেট বলা হয় । যা A⋃B প্রতীকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় । অর্থাৎ,
A⋃B = {x ∣ x ∈ অথবা x ∈ b}
দ্রষ্টব্য, x ∉ A⋃B হয় যদি ও কেবল যদি x ∉ A এবং X ∉ B হয় ।
সংজ্ঞা থেকে এটা স্পষ্ট যে, i. A⋃B = B⋃A [বিনিময় বিধি]
ii. A ⊆ A⋃B এবং B ⊆ A⋃B
.
ছেদ সেট : দুটি সেট A এবং B এর সকল সাধারণ (Common) উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে A এবং B এর ছেদ সেট বলা হয় । যা A⋂B লিখে প্রকাশ করা হয় । অর্থাৎ
A⋂B = {x ∣ x ∈ A এবং x ∈ B}
দ্রষ্টব্য, x ∉ A⋂B হয় যদি ও কেবল যদি x ∉ A অথবা x ∉ B
সংজ্ঞা থেকে এটা স্পষ্ট যে, i. AB = BA [বিনিময় বিধি]
ii. A⋂B ⊂ A এবং A⋂B ⊂ B
নিশ্ছেদ সেট : দুটি সেট A এবং B নিশ্ছেদ সেট বা সংক্ষেপে নিশ্ছেদ বলা হয় যদি A এবং B এর মধ্যে কোন সাধারণ উপাদান বিদ্যমান না থাকে । অর্থাৎ, A⋂B = ϕ যদি হয় ।
.
অন্তর সেট : A এবং B দুটি সেট হলে, যে সমস্ত উপাদান A সেটে আছে কিন্তু B সেটে নেই, এরূপ উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে A এবং B এর অন্তর সেট (Differecne Set) বলে । A এবং B এর অন্তর সেটকে A-B বা A\B নিয়ে প্রকাশ করা হয় । একইভাবে, B সেটে আছে কিন্তু A সেটে নেই এরূপ উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে B এবং A এর অন্তর সেট বলে ।
B এবং A এর অন্তর সেটকে B-A বা B\A লিখে প্রকাশ করা হয় ।
A-B = A\B = {X ∣ X ∈ A এবং X ∉ B}
B-A = B\A = {X ∣ X ∈ B এবং X ∉ A}
দ্রষ্টব্য : i. A-B ⊂ A
ii. B-A ⊂ B
.
পূরক সেট : কোন সেটের উপাদানগুলোকে বাদ দিয়ে সার্বিক সেটের অন্যান্য সমস্ত উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে উক্ত সেটের পূরক সেট বলে । A কোন সেট হলে A এর পূরক (Complement) সেটকে A′ প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় । অর্থাৎ,
A′ = U-A = {X ∣ X ∈ U এবং X ∉ A}
.
ক্রমজোড় : দুটি সংখ্যার ক্রমজোড়ে (Ordered Pair) একটি সংখ্যাকে প্রথম এবং অপরটিকে দ্বিতীয় উপাদান ধরা হয় । (a,b) দ্বারা একটি ক্রমজোড় নির্দেশ করা হয় যার প্রথম পদ a এবং দ্বিতীয় পদ b । ক্রমজোড় (a,b) ও (c,d) সমান হয় অর্থাৎ, (a,b) = (c,d) হয় যদি ও কেবল যদি a=c এবং b=d হয় ।
.
কার্তেসীয় গুণজ সেট : যদি A এবং B দুটি সেট হয়, তবে A এর উপাদানগুলোকে প্রথম পদ ও B এর উপাদানগুলোকে দ্বিতীয় পদ ধরে গঠিত ক্রমজোড়ের সেটকে A এবং B এর কার্তেসীয় গুণজ (Cartesian Product) সেট বলে । যা A×B প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় । অর্থাৎ,
A×B = {(x,y) ∣ x ∈ A এবং y ∈ B}
A×B = {(x,y) ∣ x ∈ B এবং y ∈ A}
এবং সাধারণভাবে, A×B ≠ B×A
দ্রষ্টব্য, A সেটে p সংখ্যক বস্তু এবং B সেটে q সংখ্যক বস্তু থাকলে A×B সেটে pq সংখ্যক বস্তু থাকবে ।
.
সেটের সংযোগ বিধি (Associative Law) : A,B,C যেকোন তিনটি সেট হলে,
i. (A⋃B)⋃C = A⋃(B⋃C)
ii. (A⋂B)⋂C = A⋂(B⋂C)
সেটের বণ্টন বিধি (Distributive Law) : A,B,C যেকোন তিনটি সেট হলে,
i. A⋃(B⋂C) = (A⋃B)⋂(A⋃C)
ii. A⋂(B⋃C) = (A⋂B)⋃(A⋂C)
অভেদক বিধি (Identity Law) : A যেকোন সেট এবং U সার্বিক সেট হলে,
i. A⋃ϕ = A
ii. A⋂U = A
iii. A⋃U = U
iv. A⋂ϕ = ϕ
.
পূরক বিধি (Complement Law) : U সার্বিক সেট, A যেকোন একটি সেট এবং ϕ ফাঁকা সেট এবং U′, A′ এবং ϕ′ যথাক্রমে তাদের পূরক সেট হলে,
i. A⋃A′ = U
ii. A⋂A′ = ϕ
iii. (A′)′ = A
iv. U′ = ϕ
v. ϕ′ = U
.
দ্য মরগানের বিধি (De Morgan’s Law) : A,B যেকোন দুইটি সেট এবং A′ ও B′ তাদের পূরক সেট হলে,
i. (A⋃B)′ = A′⋂B′
ii. (A⋂B)′ = A′⋃B′
.
A সান্ত (finite) সেট হলে, A এর উপাদান সংখ্যা আমরা n(A) দিয়ে প্রকাশ করি ।
.
A এবং B দুইটি সান্ত সেট ফলে A⋃B ও একটি সাই সেট । সেক্ষেত্রে,
n(A⋃B) = n(A)+n(B)-N(A⋂B)
n((A⋃B)′) = n(S)-n(A⋃B) [A এবং B উভয়ে S এর উপসেট হলে]
= n(S)-n(A)-n(B)+n(A⋂B)
A,B,C সাই সেট ফলে,
n(A⋃B⋃C) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A⋂B)-n(B⋂C)-n
(C⋂A)+n(A⋂B⋂C)
.
ভেনচিত্র : কোন সেটের একাধিক উপসেটের মধ্যে সম্পর্ক নির্দেশ করতে অনেক সময় জ্যামিতিক চিত্র ব্যবহার করা হয় । বৃটিশ তর্কশাস্ত্রবিদ জন ভেন প্রথমে এরূপ চিত্র ব্যবহার করেন বলে তার নামানুসারে এগুলোকে ভেনচিত্র (Venn Diagram) বলা হয় । (ভেনচিত্র নিয়ে অন্য কোন দিন বিস্তারিত লেখার ইচ্ছে প্রকাচ করছি: নোমান)
.
গানিতিক সমস্যার সমাধান :
.
নোমান
.
1. যদি U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A = {2,3,4,5}, B = {4,6,8}, C = {3,4,5,6,7} হয় তবে,
i. A⋃B
ii. B⋃C
iii. A⋃C
iv. A⋃(B⋃C)
v. (A⋃B)⋃C
vi. A⋂B
vii. B⋂C
viii. A⋂C
ix. (A⋂B)⋂C
x. A⋂(B⋂C)
xi. A′
xii. A\B
xiii. (A\B)′
xiv. (A⋃B)′
xv. (A⋂B)′
xvi. A⋂B′
xvii. B′-A′ নির্ণয় কর
.
i. A⋃B = {x ∣ x ∈ A অথবা x ∈ B} = {2,3,4,5,6,8}
ii. B⋃C = {3,4,5,6,7,8}
iii. A⋃C = {2,3,4,5,6,7}
iv. A U(B⋃C) = {x ∣ x ∈ A অথবা x ∈ (B⋃C)} = {2,3,4,5,6,7,8}
v. (A⋃B)⋃C = {x ∣ x ∈ (A⋃B) অথবা x ∈ C} = {2,3,4,5,6,7,8}
vi. A⋂B = {x ∣ x ∈ A অথবা x ∈ B} = {4}
vii. B⋂C = {4,6}
viii. A⋂C = {3,4,5}
ix. (A⋂B)⋂C = {x ∣ x ∈ (A⋂B) অথবা x ∈ C} = {4}
x. A⋂(B⋂C) = {x ∣ x ∈ A অথবা x ∈ (B⋂C)} = {4}
xi. A′ = U-A = {x ∣ x ∈ U অথবা x ∉ A} = {1,6,7,8,9}
xii. A-B = {x ∣ x ∈ A অথবা x ∉ B} = {2,3,5}
xiii. (A\B)′ = U-(A-B) = {x ∣ x ∈ U অথবা x ∉ (A-B)} = {1,4,6,7,8,9}
xiv. (A⋃B)′ = U-(A⋃B) = {x ∣ x ∈ U অথবা x ∉ (A⋃B)} = {1,7,9}
xv. (A⋂B)′ = U-(A⋃B) = {x ∣ x ∈ (A⋃B) অথবা x ∉ (A⋂B)} = {1,2,3,5,6,7,8,9}
xvi. A⋂B′ = {x ∣ x ∈ A অথবা x ∈ B′} = {{x ∣ x ∈ A অথবা x ∉ B} = {2,3,5}
xvii. B′-A′ = {x ∣ x ∈ B′ অথবা x ∉ A′} = {x ∣ x ∉ B অথবা x ∈ A} = {2,3,5}
.
2. A এবং B সেট দুইটি সার্বিক সেট U এর উপসেট । কোন শর্তাধীনে নিচের তথ্যগুলো সঠিক হবে তা নির্ণয় কর ।
i. A⋃B = A⋂B
ii. A⋃B = A
iii. A⋂B = A
iv. A⋂B = ϕ
v. A⋃B = ϕ
vi. A⋃B = U
vii. A⋃ϕ = U
viii. A′⋃ϕ = ϕ
.
i. A=B হলে A⋃B = A⋃A = A এবং A⋂B = A⋂A = A অর্থাৎ A⋃B = A⋂B হয়
ii. B⊂A হলে A⋃B = A হয়
iii. A⊂B হলে A⋂B = A হয়
iv. A\B = A অথবা B\A = B হলে A⋂B = ϕ হয় । কিংবা,
যদি A⋃B = U হয় এবং A′ = B অথবা A = B′ হয় তবে A⋂B = ϕ হয়
v. A = ϕ এবং B = ϕ হলে A⋃B = ϕ⋃ϕ = ϕ হয়
vi. B = A′ অথবা A = B′ হলে A⋃B = U হয়
vii. A = U হলে A⋃ϕ = U⋃ϕ = U হয়
viii. A = U হলে A′⋃ϕ = ϕ⋃ϕ = ϕ হয়
.
3. A এবং B সেট দুইটি সার্বিক সেট U এর উপসেট । A′ এবং B′ যথাক্রমে A এবং B এর পূরক সেট এবং ϕ শূণ্য সেট হলে-
i. A⋂A′
ii. A⋃A′
iii. ϕ′
iv. U′
v. U⋂A
vi. (B′)′
i. A⋂A′ = ϕ
ii. A⋃A′ = U
iii. ϕ′ = U-ϕ = U
iv. U′ = U-U = ϕ
v. U⋂A = A [∵ A⊂U]
vi. (B′)′ = {x ∣ x ∈ (B′)′} = {x ∣ x ∉ B′} = {x ∣ x ∈ B} = B
.
4. A = {x ∣ x+8=8}, B = {x ∣ x 2=9, 2x = 4}, C = {x ∣ x 2-5x+6=0}, D = {x ∣ x 2-11x+24=0} হলে, A\B এবং C⋂D নির্ণয় কর ।
এখানে, A = {x ∣ x+8=8} = {x ∣ x = 8-8} = {0}
B = {x ∣ x 2=9, 2x = 4} = {x ∣ x = ±3 এবং x = 2} = ϕ
C = {x ∣ x 2-5x+6=0} = {x ∣ x 2-3x-2x+6 = 0} = {x ∣ (x-3)(x-2) = 0} = {x ∣ x=3 অথবা x=2} = {2,3}
D = {x ∣ x 2-11x+24=0} = {x ∣ x 2 -3x-8x+24=0} = {x ∣ (x-3)(x-8) = 0}
= {x ∣ x=3 অথবা x=8} = {3,8}
∴ A\B = {0}-ϕ = {0} = A [{o} এবং ϕ কিন্তু এক নয় তা লক্ষ রাখতে হবে । ϕ = {}, ϕ ≠ {0}]
∴ C⋂D = {3}
.
5. যদি A = {1,2,3}, B = {a,b} হয় তবে A×B এবং B×A নির্ণয় কর ।
AB = {(x,y) ∣ x ∈ A এবং y ∈ B} = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}
BA = {(x,y) ∣ x ∈ B এবং y ∈ A} = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)}
.
6. A = {1,2,3} হলে A এর মোট উপসেট কয়টি? P(A) নির্ণয় কর ।
এখানে, A এর উপাদান সংখ্যা n=3 । ∴ A এর উপসেট হবে 2 n = 23 = 8টি ।
∴ P(A) = {ϕ,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}
.
7. (x+y, x 2+y 2) = (2,4) হলে x 2 -y 2 এর মান নির্ণয় কর ।
এখানে, x+y = 2
এবং, x
আবার, x 2+y 2=4 ⇒ (x+y) 2 -2xy = 4 ⇒ 22-2xy = 4 ⇒ xy = 0
আবার, x 2+y 2=4 ⇒ (x 2+y 2) 2 = 16 ⇒ (x 2-y2 ) 2+4x 2 y2 = 16
⇒ (x 2-y 2) 2+4(xy) 2 = 16
⇒ (x 2-y 2) 2+0 = 16
⇒ x 2-y 2 = ±4
.
----নোমান-----
.
8. একটি ভাষা শিক্ষা কেন্দ্রে 120 জন শিক্ষার্থী নিম্নোক্ত ভাষা শিক্ষা লাভ করে :
65 জন ফ্রেঞ্চ, 45 জন জার্মান, 42 জন রাশিয়ান । 20 জন ফ্রেঞ্চ ও জার্মান, 25 জন ফ্রেঞ্চ ও রাশিয়ান, 15 জন জার্মান ও রাশিয়ান এবং 8 জন তিনটি ভাষার প্রত্যেকটি অধ্যয়ন করে । নির্ণয় কর :
i. কতজন অন্তত একটি ভাষা অধ্যয়ন করে?
ii. কতজন জার্মান ও রাশিয়ান ভাষা অধ্যয়ন করে । কিন্তু ফ্রেঞ্চ অধ্যয়ন করে না?
iii. কতজন রাশিয়ান ও ফ্রেঞ্চ অধ্যয়ন করে কিন্তু জার্মান অধ্যয়ন করে না?
iv. কতজন ফ্রেঞ্চ ও জার্মান অধ্যয়ন করে কিন্তু রাশিয়ান অধ্যয়ন করে না?
v. কতজন শুধু রাশিয়ান অধ্যয়ন করে?
vi. কতজন শুধু ফ্রেঞ্চ অধ্যয়ন করে?
vii. কতজন কোন ভাষাই অধ্যয়ন করে না?
viii. কতজন কোন ভাষাই অধ্যয়ন করে না?
ix. কতজন ঠিক একটি ভাষা অধ্যয়ন করে?
x. কতজন ঠিক দুটি ভাষা অধ্যয়ন করে?
---
N---
.
এখানে, মোট শিক্ষার্থী, n(S) = 120
ফ্রেঞ্চ ভাষা শিক্ষার্থী, n(F) = 65
জার্মান ভাষা শিক্ষার্থী, n(G) = 45
রাশিয়ান ভাষা শিক্ষার্থী, n(R) = 42
ফ্রেঞ্চ ও জার্মান ভাষা শিক্ষার্থী, n(F⋂G) = 20
ফ্রেঞ্চ ও রাশিয়ান ভাষা শিক্ষার্থী, n(F⋂R) = 25
জার্মান ও রাশিয়ান ভাষা শিক্ষার্থী, n(G⋂R) = 15
তিনটি ভাষার প্রত্যেকটির শিক্ষার্থী, n(F⋂G⋂R) = 8
i. অন্ততঃ একটি ভাষা অধ্যয়ন করে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা
= এক বা একাধিক ভাষা অধ্যয়নকারী শিক্ষার্থীর সংখ্যা
= n(F⋃G⋃R)
= n(F)+n(G)+n(R)-n(F⋂G)-n(F⋂R)-n(G⋂R)+n(F⋂G⋂R)
= 100
ii. n(G⋂R)-n(F⋂G⋂R) = 7
iii. n(F⋂R)-n(F⋂G⋂R) = 17
iv. n(F⋂G)-n(F⋂G⋂R) = 12
v. n(R)-n(F⋂R)-n(G⋂R)+n(F⋂G⋂R) = 10
vi. n(G)-n(G⋂R)-n(F⋂G)+n(F⋂G⋂R) = 18
vii. n(F)-n(F⋂R)-n(F⋂G)+n(F⋂G⋂R) = 28
.
viii. n(S)-n(F⋂G⋂R) = 10
.
ix. ঠিক একটি ভাষা অধ্যয়ন করে = শুধু রাশিয়ান অধ্যয়ন করে + শুধু জার্মান অধ্যয়ন করে + শুধু ফ্রেঞ্চ অধ্যয়ন করে
= 56
.
x. ঠিক দুটি ভাষা অধ্যয়ন করে = জার্মান ও রাশিয়ান অধ্যয়ন করে, কিন্তু ফ্রেঞ্চ অধ্যয়ন করে না + ফ্রেঞ্চ ও রাশিয়ান অধ্যয়ন করে, কিন্তু জার্মান অধ্যয়ন করে না + ফ্রেঞ্চ ও জার্মান অধ্যয়ন করে, কিন্তু রাশিয়ান অধ্যয়ন করে না
= 36